1.) . . . . . . . $ \sim P \Leftrightarrow Q \Rightarrow R $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(First the $ \sim $ ) . . . . . . . $ (\sim P) \Leftrightarrow Q \Rightarrow R $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \Rightarrow $ ) . . . . . . . $ (\sim P) \Leftrightarrow (Q \Rightarrow R) $



2.) $ P \wedge \sim Q \Rightarrow R \vee S \Leftrightarrow \sim T $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(First the $ \sim $ ) . . . . . . . $ P \wedge (\sim Q) \Rightarrow R \vee S \Leftrightarrow (\sim T) $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \wedge $ ) . . . . . . . $ (P \wedge (\sim Q)) \Rightarrow R \vee S \Leftrightarrow (\sim T) $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \vee $ ) . . . . . . . $ (P \wedge (\sim Q)) \Rightarrow (R \vee S) \Leftrightarrow (\sim T) $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \Rightarrow $ ) . . . . . . . $ [ \ (P \wedge (\sim Q)) \Rightarrow (R \vee S) \ ] \Leftrightarrow (\sim T) $



3.) $ P \Leftrightarrow Q \Rightarrow R \Rightarrow S \Leftrightarrow T $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(First the leftmost $ \Rightarrow $ ) . . . . . . . $ P \Leftrightarrow (Q \Rightarrow R) \Rightarrow S \Leftrightarrow T $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the next $ \Rightarrow $ ) . . . . . . . $ P \Leftrightarrow ((Q \Rightarrow R) \Rightarrow S) \Leftrightarrow T $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the leftmost $ \Leftrightarrow $ ) . . . . . . . $ [ \ P \Leftrightarrow ((Q \Rightarrow R) \Rightarrow S) \ ] \Leftrightarrow T $



4.) $ P \vee Q \Rightarrow \sim R \Leftrightarrow S \wedge T $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(First the $ \sim $ ) . . . . . . . $ P \vee Q \Rightarrow (\sim R) \Leftrightarrow S \wedge T $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \wedge $ ) . . . . . . . $ P \vee Q \Rightarrow (\sim R) \Leftrightarrow (S \wedge T) $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \vee $ ) . . . . . . . $ ( P \vee Q) \Rightarrow (\sim R) \Leftrightarrow (S \wedge T) $ . . . . . . . $ \longrightarrow $

(Then the $ \Rightarrow $ ) . . . . . . . $ [ \ ( P \vee Q) \Rightarrow (\sim R) \ ] \Leftrightarrow (S \wedge T) $


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Duane Kouba 2002-05-22