Sommerakademie der Studienstiftung in Molveno 1996.
Fachbereich Mathematik, Johann-Wolfgang-Goethe-Universität Frankfurt am Main
Fachbereich Mathematik, Johann-Wolfgang-Goethe-Universität Frankfurt am Main
Nach einem Überblick über den Rahmen und die Ziele der Theorie werden grundlegende Eigenschaften abgeschlossener Operatoren vorgestellt.
C0-Halbgruppen und ihre Erzeuger werden definiert; Erzeuger von C0-Halbgruppen werden charakterisiert.
Das Vortragspaper von Matthias Köppe als PS-Datei
Als Hilfsmittel zur Berechnung von Erzeugern ist Nelsons Lemma ein Kriterium, wann ein linearer Teilraum wesentlich für den Erzeuger ist. Für Translationhalbgruppen in verschiedenen Banachräumen werden die Erzeuger berechnet.
Eine wichtige C0-Halbgruppe wird vorgestellt und ihr Erzeuger ausgerechnet.
Es werden die Operatoren charakterisiert, die Erzeuger von C0-Halbgruppen sind; dabei spielt die Resolvente eine entscheidende Rolle.
Dissipative Operatoren sind eine Verallgemeinerung negativ-definiter Matrizen; sie erzeugen Kontraktionshalbgruppen.
Dieser Satz ist eine wichtige Grundlage der Quantenmechanik.
Hier werden Kriterien dafür angegeben, wann eine (additive) Störung eines Erzeugers "so klein" ist, daß der gestörte Operator wieder eine Halbgruppe erzeugt.
Hier geht es darum, geeignete Konvergenzbegriffe für Erzeuger zu finden, welche die Konvergenz der zugehörigen Halbgruppen implizieren.
Der Produktsatz von Trotter erlaubt es, in geeigneten Situationen die Halbgruppe einer Summe von Erzeugern mit Hilfe der Halbgruppen der Summanden zu berechnen.
Gewöhnliche Differentialgleichungen in Banachräumen sind dann "gut gestellt" (well-posed), wenn sie sich in die Theorie der C0-Halbgruppen einordnen.
Cauchy-Probleme mit nichtlinearen Inhomogenitäten werden hier vorgestellt und untersucht.
Die Navier-Stokes-Gleichung wird in ein abstraktes Cauchy-Problem umgeschrieben.
In diesem und den folgenden Vorträgen werden symmetrische hyperbolische Systeme (SHS) behandelt. Dieser wichtige Klasse von partiellen Differentialgleichungen umfaßt die Wellengleichung und die Maxwell-Gleichungen. Mit Hilfe der Halbgruppentheorie kann man die Existenz verallgemeinerter Lösungen zeigen, Regularitätssätze erlauben es dann, daraus klassische Lösungen zu gewinnen. Die dazu nötigen Vorbereitungen aus der Theorie der Sobolev-Räume werden mitbewiesen.